K: Kezdjük a jelölésekkel; mit jelentsenek az alábbi rendezett párok: (t,x), (t,x,y), (t,x,y,z)
V: Idő és térbeli koordinátákat; értelemszerűen egyetlen idő- és 1-3 térkoordinátát.
K: Ezek mindig rögzített értékek, vagy lehetnek bennük változók is?
V: Például ha egy eseményről van szó, amit pontszerűnek és pillanatszerűnek tekintünk, akkor a koordináták rögzített értékek; ha egy pont(szerű test) mozgását akarjuk leírni, akkor az időt szabad változónak vesszük fel, és a térkoordinátá(ka)t az idő függvényében adjuk meg. Példák:

O(0,0)			    egydimenziós tér origója
A(t,0), B(t,5)		    egydimenziós térben álló pontok
C(t,(4/5)t), D(t,(4/5)t-3)  egydimenziós térben haladó pontok
C(t,Rcos(wt),Rsin(wt))	    kétdimenziós térben körmozgást végző pont

K: Hová lettek a mértékegységek?
V: Az egyszerűség kedvéért egyezzünk meg, hogy a mértékegységeket úgy választjuk meg, hogy a fénysebesség éppen egységnyi legyen, és az egyéb sebességeket úgy ehhez viszonyítva adjuk meg.

K: És még egy kérdés: amikor egy mozgó pontot írunk le, mindig az idő lesz a független változó ('t')?
V: Igen, legalábbis törekedni fogunk rá; elannyira, hogy ha valamilyen számítás után olyan képletet kapnánk, ahol az idő nem független változó, akkor egy ilyesféle transzformációt végzünk:

(at+b,ct+d) =>
(τ,c((τ-b)/a)+d) =>
(τ,(c/a)τ-(cb/a)+d) =>
(t,(c/a)t-(cb/a)+d)

K: Na most ha 'τ' az új változó jele, akkor miért van az utolsó sorban ismét 't'?
V: Igazából nincs értelme újabb és újabb betűket használni, csak az a fontos, hogy magát a transzformációt helyesen végezzük el. Példák:

(t-1,20) => (t,20)
((t-1)/2,3t+4) => (t,6t+7)
(t-t0,vt+x0) => (t,vt+vt0+x0)
(t+t0,vt+x0) => (t,vt-vt0+x0)

K: Namostan a számítások során mindenki ugyanazt a koordináta-rendszert használja? Mert ha nem, akkor valahogy jelölni kellene, hogy melyik rendszerben érvényes koordinátákról beszélünk!
V: Jó meglátás! Ha mondjuk az 'A' megfigyelő szempontjából adjuk meg 'B' koordinátáit, azt jelölje [B]_A. (Megjegyzés: ha esetleg helyenként elfelejtjük kiírni a szögletes zárójeleket, de ott van az alsó index, akkor is erre gondoljunk: B_A := [B]_A.) Egyezzünk meg abban is, hogy saját magát mindenki állónak tekinti, vagyis [X]_X=(t,0).

K: Egyéb jelölések, ha már így benne vagyunk?
V: Például, jelölje T_UV vagy röviden UV az U és V mozgó pontok találkozási pontját (persze csak ha találkoznak egyáltalán). Egy példa-számítás egydimenziós esetre:

[U]X=(t,at+b)
[V]X=(t,ct+d)
[TUV]X=((b-d)/(c-a),(ad-bc)/(c-a))

K: Akkor most jöjjön a legegyszerűbb példa a specrel-es számításra!
V: Legyen adott egy egydimenziós térben két megfigyelő, 'A' és 'C', akik inerciális mozgást végeznek, és úgy egyeztetik az a koordináta-rendszereiket, hogy a találkozásuk a (0,0) pontban (vagyis t=0 időben, x=0 helyen) történjen. Legyen A szerint C sebessége 4/5, és C szerint A sebessége -4/5 (vagyis a koordináta-rendszerük irányítottsága is azonos). Ekkor az 'A' rendszerében érvényes koordinátákat a 'C' rendszerbe egy mátrix-szal való szorzással lehet kiszámolni:

( 5/3 -4/3)
(-4/3  5/3)

K: Lássunk példákat!
V: Rendben, néhány példa a mátrix-szorzás szokás jelölését használva (baloldalt a mátrix, fölül a szorzandó (oszlop)vektorok (nevük is van, pl.: O=Origo, V=Vége), alattuk az eredmények, szintén oszlopvektorként):

                O      V     I   J   A         B            C        D
               (0)   (10)   (5) (5) (t)       (t)          (t)      (t)
               (0)   ( 5)   (1) (4) (0)       (5)          ((4/5)t) ((4/5)t-3)
               --- ------- ---- --- --------- ---          -------- ----------
 ( 5/3 -4/3) | (0)   (10)  ( 7) (3) (τ)       (τ)          (τ)      ( τ)
 (-4/3  5/3) | (0)   (-5)  (-5) (0) ((-4/5)τ) ((-4/5)τ+3)  (0)      (-5)

K: Namostan itt nyilvánvaló csaláson értelek, például a 'B' transzformáltja igazából ((5/3)t,(-4/3)t+25/3) nem pedig (τ,(-4/5)τ+3)
V: Erről korábban volt szó, lásd itt. Ezt a továbbiakban annyival fogjuk súlyosbítani, hogy átnevezéssel sem fáradunk, hanem egységesen 't'-vel jelöljük az időt, amikor szabad változóként szerepel.

K: Hogy lenne a visszafelé számolás; vagyis a C-rendszerében érvényes koordináták átszámítása A-rendszerébe?
V: A következő mátrixot kell használni (ami történetesen az előzőnek az inverze):

(5/3 4/3)
(4/3 5/3)

Példák (egyes pontoknak kétbetűs neve van, ne ijedj meg tőlük):

              AC    AD     BC    AD        E        F      EF
             (0) (25/4) (15/4)  (10) (     t) (     t)  (   5)
             (0) (  -5) (   0)  (-5) (t-15/2) (-t+5/2)  (-5/2)
             --- ------ ------- ---- --------- ------- ------
 (5/3 4/3) | (0) (15/4) (25/4)  (10) (     t) (      t) (   5)
 (4/3 5/3) | (0) (   0) (   5)  ( 5) ( t-5/2) (-t+15/2) ( 5/2)

Javasolnám, hogy mindezt papíron rajzold is le magadnak, mégpedig külön ábrára az 'A' rendszeréből érvényes adatokat, és egy másik ábrára a 'C' rendszeréből érvényeseket.

K: Fogadjunk, hogy ehhez valami metaforát akarsz illeszteni...
V: Hát jó, legyen ez a vonat/alagút probléma, az alábbi jelölésekkel:

A,B -- vonat eleje, vége;
       a vonat saját magát 5 egység hosszúnak tartja,
       az alagút szerint a vonat 3 egység hosszú

C,D -- alagút eleje, vége
       az alagút saját magát 5 egység hosszúnak tartja,
       a vonat szerint az alagút 3 egység hosszú

AC  -- a vonat eleje belép az alagútba
AD  -- a vonat vége belép az alagútba
BC  -- a vonat eleje kilép az alagútból
BD  -- a vonat vége kilép az alagútból

K: És mi is a probléma?
V: Hát hogy a vonat szerint nincs olyan pillanat, amikor teljes egészében benne lenne az alagútban, az alagút szerint meg van.
K: És akkor melyiküknek van igaza?
V: Mindkettőnek; a gond az egyidejűséggel illetve az események sorrendjével van, például 'I' és 'J' egyidejűek az alagút szerint, de nem egyidejűek a vonat szerint (4 időegység van közöttük); az alagút szerint 'BC' után 5/2 időegységgel következik be a 'AD', a vonat szerint éppen fordítva.

K: De én nem tudom elfogadni, hogy nincs abszolút egyidejűség!
V: Ezt szívesen tudomásul veszem, de nem tudok rajta változtatni. Talán azt javasolhatom, hogy tekintsd az egészet egyfajta szellemi játéknak, gondolatkísérletnek, tisztán elméleti matematikának.

K: Na jó, van még valami megfigyelni való ebben a példában?
K: Itt van az 'E' meg az 'F'. Legyenek ezek fotonok (most tegyük félre a kérdést, mi az a foton, maradjunk abban, hogy valami pontszerű dolog, ami fénysebességgel megy), figyeljük meg, hogy a sebességük minden megfigyelő szerint egységnyi, akárhogy is transzformáljuk.
Mondjuk 'E' és 'F' akkor indulnak (T_EF), amikor a vonat közepe találkozik az alagút közepével, 'E' előre halad, 'F' meg hátrafelé.
Könnyen kiszámíthatjuk, hogy az egyes megfigyelők szerint mikor és hol találkoznak a fotonok az A, B, C, D pontokkal:

találkozás vonat_szerint alagút_szerint
EF         (   5,5/2)    (   5,-5/2)
FD         (35/6,5/3)    (15/2,  -5)
FA         (15/2,  0)    (25/2, -10)
EB         (15/2,  5)    (35/6,-5/3)
EC         (25/2, 10)    (15/2,   0)

K: És hogy visszatérjünk az elmélethez, honnan is kaptuk ezt a transzformációs márixot?
V: A teljes alakja ez lenne:

( 1/sqrt(1-(v/c)2) -v/c2/sqrt(1-(v/c)2))
(-v/sqrt(1-(v/c)2)  1/sqrt(1-(v/c)2))

de a mi speciális esetünkben, ahol c=1, így egyszerűsödik:

( 1/sqrt(1-v2) -v/sqrt(1-v2))
(-v/sqrt(1-v2)  1/sqrt(1-v2))

K: Milyen sebességeket érdemes választani gondolatkísérletekhez, hogy ne kapjak irracionális számokat?
V: Pithagoraszi számhármasokat érdemes megcélozni, amilyen például a 3,4,5 vagy az 5,12,13; az előbbiből a 3/5 és 4/5, az utóbbiból az 5/13 és 12/13 sebesség adódik. Az illetékes mátrixok:

  v=3/5       v=4/5      v=5/13         v=12/13
( 5/4 -3/4) ( 5/3 -4/3) (13/12 -5/12) ( 13/5 -12/5)
(-3/4  5/4) (-4/3  5/3) (-5/12 13/12) (-12/5  13/5)

K: És ha a sebesség negatív?
V: A mellékátlóban lévő elemek előjelét kell megfordítani, pl. a 7,21,25 és a 9,40,41 számhármasok alapján:

 v=-7/25       v=-21/25    v=-9/41       v=-40/41
(25/21  7/21) (25/7 21/7) (41/40  9/40) (41/9 40/9)
( 7/21 25/21) (21/7 25/7) ( 9/40 41/42) (40/9 41/9)

K: Még valami matematikai érdekesség?
V: Ha ezt a (v-től függő) mátrixot elnevezzül 'L_v'-nek, az egységmátrixot 'I'-nek, és determinánst 'det'-tel jelöljük, akkor mondhatjuk, hogy:

Lv * L-v = I
det Lv = 1

Továbbá, ha az 1/sqrt(1-v²)-t elnevezzük ch α_v-nak (lásd a ch-t és sh-t itt), akkor:

Lv = (ch(αv) sh(αv))
     (sh(αv) ch(αv))

Lv * Lw = (ch(αv+αw) sh(αv+αw))
          (sh(αv+αw) ch(αv+αw))

K: És vissza lehet ebből kapni a klasszikus mechanikában használt Galilei-transzformációt?
V: Ehhez a mátrix eredeti alakját kell használni, és megvizsgálni a c->∞ esetet. Azt a mátrixot kapjuk, hogy:

( 1 0)
(-v 1)

amit a következő transzformációt jelenti:

t' = t
x' = x - vt

K: És ha egy olyan esetet néznénk, ahol nem a koordináta-rendszerek origói esnek egybe, hanem általános pontok?
V: Jelölja a találkozás (T) pontjának A-szerinti koordniátáit (T_A,t,T_A,x), B szerinti koordinátáit (T_B,t,T_B,x). Ekkor egy általános pont P-pontnak A-szerinti koordináit így lehet B-szerintiekre konvertálni:

(PB,t)   (TB,x)        (PA,t - TA,t)
(    ) = (    ) + Lv * (           )
(PB,x)   (TB,x)        (PA,x - TA,x)

Illetve, ha szabad koordináta-vektorokat használni (T_A, T_B, P_A, P_B), akkor így is írhatjuk:

PB = TB + Lv * (PA - TA)

K: Nézzünk egy konkrét példát!
V: Egy nagyon könnyű eset: 'B' és 'C' találkoznak, a találkozás koordinátái mindkettejük szerint (t=15,x=0), B szerint C sebessége 40/41 (tehát C szerint B sebessége -40/41, a transzformáció mátrixát lásd itt). Számoljuk ki, hogyan kell transzformálni B-nek, C-nek és egy önkényesen felvett A-nak a koordinátáit B-rendszeréből C-ébe (minden lépénél alkalmazzuk a fentebb leírt változó-helyettesítést, de csak ez első lépésnél írjuk ki külön). Egyben számítsuk ki ezen három pont találkozásainak koordinátáit is (jelölésük: T_AB, T_BC,T_CA illetve röviden AB, AC, CA).

X                           B                  C              A       AB   BC       CA
             ----------------- ------------------ -------------- -------- ---- --------
XB           (              t) (               t) (           t) (     0) (15) ( 250/3)
             (              0) (-(40/41)t+600/41) (     -(4/5)t) (     0) ( 0) (-200/3)

XB-TB        (           t-15) (            t-15) (        t-15) (   -15) ( 0) ( 205/3)
             (              0) (-(40/41)t+600/41) (     -(4/5)t) (     0) ( 0) (-200/3)

"változó-    (              t) (               t) (           t)
 váltás"     (              0) (       -(40/41)t) (  -(4/5)t-12)

Lv(XB-TB)    (              t) (               t) (           t) (-205/3) ( 0) (    15)
             (       (40/41)t) (               0) (   (4/5)t-12) (-200/3) ( 0) (     0)

Lv(XB-TB)+TC (              t) (               t) (           t) (-160/3) (15) (    30)
=XC          ((40/41)t-600/41) (               0) (   (4/5)t-24) (-200/3) ( 0) (     0)

Javaslom, hogy készíts ismét két ábrát a két megfigyelő szemszögéből nézve.

K: Lehet még tovább fokozni ezt a kavarást?
V: A koordinátákat átszámíthatjuk C rendszeréből A rendszerébe; ehhez azt kell magadnunk, hogy A (saját ideje szerint) mikor találkozik C-vel. Mondjuk önkényesen a t=50 pillanatot választjuk (korább jelöléseinkkel: [AC]_A=(50,0)). A transzformációt mátrixát itt találod (v=4/5).

X	                    B            C           A       AB    BC   CA
--------     ----------------- ------------ ----------- -------- ----- ----
[X]C         (              t) (         t) (        t) (-160/3) ( 15) (30)
             ((40/41)t-600/41) (         0) ((4/5)t-24) (-200/3) (  0) ( 0)

XC-[CA]C     (              t) (         t) (        t) (-250/3) (-15) ( 0)
             ((40/41)t+600/41) (         0) (   (4/5)t) (-200/3) (  0) ( 0)

L(XC-[CA]C)  (              t) (         t) (        t) (   -50) (-25) ( 0)
	     (      (4/5)t+40) (     -4/5t) (        0) (     0) ( 20) ( 0)

[X]A         (              t) (         t) (        t) (     0) ( 25) (50)
	     (         (4/5)t) (-(4/5)t+40) (        0) (     0) ( 20) ( 0)

Javaslom, hogy 'A' nézőpontjából is rajzold le az eseményeket, ez az ábra szép szimmetrikus lesz: először 'A' találkozik 'B'-vel (0,0), azután 'B' találkozik 'C'-vel (25,20), végül 'C' találkozik 'A1-val (50,0). 'B' sebessége 4/5, 'C' sebessége pedig -4/5.

K: Ehhez az számításhoz is tartozik valamilyen "mese"?
V: Felfogható egy jóárasított, akarom mondani 'gyorsulásmentesített' ikerparadoxonnak: 'A' szempontjából 50 év (mondjuk most éppen egy év az időegység) telik el 'B' indulása és 'C' érkezése között, viszont 'B' és 'C' adatait összesítve csak 30 év telt el (amikor találkoztak, az mindkettejüknek a t=15 időpont volt).

K: Szóval ebben a példában nem volt gyorsulás, és mégis fellépett az ikerparadoxon?
V: Gyorsulás nem volt, csak éppen két szereplő helyett három volt a történetben. A 'rendes' ikerparadoxonban az elutazó iker mozgása nem inerciális, hiszen visszafodul.

K: De a visszafordulás nagyon rövid idő alatt is megtörténhet, akár el is hanyagolhatnánk...
V: Ezt a kifogást sajnos nem tudom elfogadni; a visszafordulást csak akkor tudnám figyelmen kívül hagyni, ha az utazó változatlan irányban és változatlan sebességgel haladna tovább... vagyis ha nem lenne semmiféle visszafordulás.

K: Lehetne ezen a példán szemléltetni az idődilatációt?
V: Próbáljuk meg! Mondjuk a történet szereplői évente fényjelet küldenek egymásnak. Ha a hagyományos mechanika szerint működne a világ, akkor 'A' az első 45 év alatt 25 fényjelet kapna B-tól (tehát 45/25 = 1.8 évente egyet), a specrel szerint viszont csak 15-öt (tehát 45/15 = 3 évente egyet). C-től az utolsó öt év alatt 25 fényjelet várnánk a hagyományos mechanika szerint (tehát évente ötöt), a specrel szerint csak 15-öt (tehát évente hármat). Ha akarjuk, ezt mondhatjuk úgy, hogy 'B' és 'C' le vannak lassulva 'A'-hoz képest.

K: De miért nem 'A' van lelassulva 'B'-hez és 'C' hez képest?
V: Hogyne lenne lelassulva! Visszanézve az előbbieket, azt látjuk, hogy 'B' szempontjából a következőképpen történtek a dolgok:

[TAB]B=(    0,     0) -- A és B találkozása
[TBC]B=(   15,     0) -- B és C találkozása
[TCA]B=(250/3,-200/3) -- C és A találkozása

Vagyis 'B' szerint az egész történet 83 évig és 4 hónapig tartott, ezalatt 'A' mindössze 50 évet öregedett (és 50 fényjelet bocsátott ki), nyilván azért, mert 3/5 arányban le van lassulva.
Ugyanilyen eredményt kapunk C-szempontjából nézve:

[TAB]C=(-160/3,-200/3) -- A és B találkozása
[TBC]C=(    15,     0) -- B és C találkozása
[TCA]C=(    30,     0) -- C és A találkozása

Az eltelt idő 'C' szempontjából is 83 év és 4 hónap.

K: Ennyi konkrét példa után levezethetjük a relativisztikus sebességösszeadás általános képletét (legalábbis egydimenziós esetre)?
V: Legyen adott 'A' és 'B' inerciális megfigyelő, valamint 'C' valami; az alábbi paraméterekkel: 'A'-hoz képest 'B' 'v' sebességgel halad, 'B'-hez képest 'A' '-v' sebességgel, 'C' pedig 'B'-hez képest 'w' sebességgel, ahol -1<v<1, -1≤w≤1.
Kiszámítandó 'C' sebessége a szerint.
'B' szerint 'A' mozgása (t,-vt), 'C'-é (t,wt). A Lorentz-transzformációt elvégezve megkapjuk 'C' mozgását 'A' koordináta-rendszerében:

       (1/sqrt(1-v2) v/sqrt(1-v2))   (t )                   (1-vw)   (τ            )
[C]A = (                         ) * (  ) = (t/sqrt(1-v2) * (    ) = (             )
       (v/sqrt(1-v2) v/sqrt(1-v2))   (tw)                   (v+w )   (τ(v+w)/(1+vw))

A τ egy új független változó (lásd fentebb), ami szintén az időt jelenti. Tehát a végeredmény: 'A' rendszerében 'C' sebessége (v+w)/(1+vw). Abban az esetben, ha nem a c=1 értékkel számolunk, a képlet így alakul: (v+w)/(1+vw/c²).
Említsük meg, hogy az általános (háromdimenziós) eset képlete sokkal bonyolultabb, és nem is szimmetrikus.

K: Ha adott két inerciális megfigyelő (mondjuk 'A' és 'B'), akik egymáshoz képest 'v' sebességgel mozognak, és koordináta-rendszereik origója egyezik, valamint adott két esemény ('A' szerint koordinátáik (t₁,x₁) és (t₂,x₂), 'B' szerint (t'₁,x'₁) és (t'₂,x'₂)), akkor ugyebár a fenti képlet szerint t₁≠t'₁, t₂≠t'₂, x₁≠x'₁, x₂≠x'₂, t₂-t₁≠t'₂-t'₁ és x₂-x₁≠x'₂-x'₁. Van egyáltalán valami, ami egyenlő?
V: A fenti képlet szerint van, mégpedig ez:

(t2-t1)2 - (x2-x1)2 = (t'2-t'1)2 - (x'2-x'1)2

K: Namost egyáltalán ez az érték pozitív vagy negatív?
V: Mindkettő előfordulhat; ha pozitív, akkor lehetséges, hogy oksági kapcsolat van a két esemény között, vagyis egy fénysebességnél lassabb valami eljuthatott egyik eseményből a másikba. Ha a szám negatív, akkor ez lehetetlen.
K: És ha éppen nulla?
V: Akkor egy fénysebességgel haladó valami éppen eljuthat egyik eseményből a másikba.

K: Valami frappáns alkalmazása ennek?
V: Ha mondjuk x_i=vt_i, akkor x'_i=0, és a képlet így egyszerűsödik:

(t'2-t'1)2 = (t2-t1)2 - (x2-x1)2 =
= (t2-t1)2(1-v2)

Amit úgy is mondhatunk, hogy

T'=T*sqrt(1-v2)

Ahol T az álló 'A' megfigyelő szerint a két esemény között eltelt idő, T' pedig a 'v' sebességű 'B' megfigyelő szerint eltelt idő.
Ha a sebesség nem állandó, hanem az idő függvénye, akkor T' integrálással számolható ki:

T' = ∫ sqrt(1-v2) dt

K: Szabad mégegyszer az egydimenziós Galilei- és Lorentz-transzformáció mátrixát?
V: Ilyesmi:

     /  1 0 \       /  γ  -vγ/c² \
Gv = |      |  Lv = |            | ahol γ=(1-v²/c²)-1/2
     \ -v 1 /       \ -vγ  γ     /

K: Ugyebár ez nem csak egydimenziós eset, de még abból is csak az az eset, amikor az érintett K és K' koordinátarendszerek szinkronizáltak, vagyis az origójuk egybeesik. Lehetne egy kicsit általánosabban?
V: Ugyebár a tér háromdimenziós, ha az idővel kiegészítjük, akkor négy, tehát dolgozzunk ötdimenziós vektorokkal, és ötször ötös mátrixokkal.
A vektorok felépítése legyen ilyen: (t,x,y,z,1) Ebből az utolsó elem szerepe nem egészen világos, de vegyük úgy, hogy ez abban segít, hogy a csillagközi utazás során ne felejtsük el, mennyi az egységelem. Mindenestre ezeket a vektorokat mindig oszlopvektorként képzeljük el. (Esetenként kiírom a transzponálást jelentő ^T jelet.)
Ekkor különféle transzformációs mátrixokat definiálhatunk a fentieken kívül is:
Eltolás(Shift) és Időutazás(Time-travel)

         / 1 0 0 0 0 \        / 1 0 0 0 τ \
         | 0 1 0 0 a |        | 0 1 0 0 0 |
Sa,b,c = | 0 0 1 0 b |   Tτ = | 0 0 1 0 0 |
         | 0 0 0 1 c |        | 0 0 0 1 0 |
         \ 0 0 0 0 1 /        \ 0 0 0 0 1 /

Számítsuk ki, mit kapunk, ha ezeket alkalmazzük egy (t,x,y,z,1) vektorra, vagyis a mátrixot szorozzuk a vektorral:

Sa,b,c(t,x,y,z,1)T = (t,x+a,y+b,z+c,1)T
Tτ(t,x,y,z,1)T = (t+τ,x,y,z,1)T

Nagyítás(Enlargement) és Gyorsítás(Acceleration)

     / 1 0 0 0 0 \        / λ 0 0 0 0 \
     | 0 κ 0 0 0 |        | 0 1 0 0 0 |
Eκ = | 0 0 κ 0 0 |   Aλ = | 0 0 1 0 0 |
     | 0 0 0 κ 0 |        | 0 0 0 1 0 |
     \ 0 0 0 0 1 /        \ 0 0 0 0 1 /

Említsük meg, hogy a 'nagyítás' jelenthet kicsinyítést, és középpontos tükrözést is, a 'gyorsítás' pedig jelenthet lassítást vagy 'idővisszafordítást' is.
A 'nagyítást' általánosíthatjuk úgy is, hogy koordinátánként különböző szorzótényezőt használunk.
x/y/z koordinátatengely körüli forgatás(Rotation)

       / 1 0    0     0 0 \          / 1     0 0    0 0 \          / 1    0     0 0 0 \
       | 0 1    0     0 0 |          | 0 -sinψ 0 cosψ 0 |          | 0 cosω -sinω 0 0 |
R1,φ = | 0 0 cosφ -sinφ 0 |   R2,ψ = | 0     0 1    0 0 |   R3,ω = | 0 sinω  cosω 0 0 |
       | 0 0 sinφ  cosφ 0 |          | 0  cosψ 0 sinψ 0 |          | 0    0     0 1 0 |
       \ 0 0    0     0 1 /          \ 0     0 0    0 1 /          \ 0    0     0 0 1 /

Vegyük észre, hogy ezek speciális esetek, az általános forgatás tetszőleges forgástengely körül történhet. Említsünk meg, hogy a 180 fokos forgatást tengelyes tükrözésnek nevezzük.
Tükrözés yz/zx/xy síkokra(Mirroring)

     / 1  0 0 0 0 \        / 1 0  0 0 0 \        / 1 0 0  0 0 \
     | 0 -1 0 0 0 |        | 0 1  0 0 0 |        | 0 1 0  0 0 |
M1 = | 0  0 1 0 0 |   M2 = | 0 0 -1 0 0 |   M3 = | 0 0 1  0 0 |
     | 0  0 0 1 0 |        | 0 0  0 1 0 |        | 0 0 0 -1 0 |
     \ 0  0 0 0 1 /        \ 0 0  0 0 1 /        \ 0 0 0  0 1 /

Vegyük észre, hogy ezek speciális esetek, általános esetben tetszőleges síkra lehet tükrözni.
Koordináta-transzformáció (térbeli)
Ha adott három független térvektor (háromdimenziós vektor), akkor oszlopvektorként egymás mellé írva háromszor hármas mátrixot kapunk, aminek kiszámíthatjuk az inverzét, hogy pl.:

b1=i=(1,0,0)T, b2=i+j=(1,1,0)T, b3=i+j+k=(1,1,1)T

    / 1 1 1 \        / 1 -1  0 \
M = | 0 1 1 |  M-1 = | 0  1 -1 |
    \ 0 0 1 /        \ 0  0  1 /

Ha ennek az inverzmátrixnak az elemeit v_ij jelöli, akkor a transzformációs mátrixunk ilyen lesz:

     / 1 0   0   0   0 \
     | 0 v11 v12 v13 0 |
KM = | 0 v21 v22 v23 0 |
     | 0 v31 v32 v33 0 |
     \ 0 0   0   0   1 /

Észrevehetjük, hogy ennek a műveletnek speciális esete a nagyítás, forgatás, tükrözés.
Megjegyzés: ha a koordináta-rendszer kezdőpontját akarjuk térben/időben eltolni, azt az elején említett transzformációkkal lehet elvégezni, ha pl. a (t₀,x₀,y₀,z₀) pontba tennénk át az origót, akkor azt ilyen transzformációval végezhetjük el:

                                            / 1 0 0 0 -t0 \
                                            | 0 1 0 0 -x0 |
A = T-t0 S-x0,-y0,-z0 = S-x0,-y0,-z0 T-t0 = | 0 0 1 0 -y0 |
                                            | 0 0 0 1 -z0 |
                                            \ 0 0 0 0  1  /
A(t,x,y,z,1)T = (t-t0,x-x0,y-y0,z-z0,1)

Galilei- és Lorentz-transzformáció (a fenti speciális eset)

     /  1 0 0 0 0 \       /   γ -vγ/c² 0 0 0 \
     | -v 1 0 0 0 |       | -vγ   γ    0 0 0 |
Gv = |  0 0 1 0 0 |  Lv = |   0   0    1 0 0 |  ahol γ=(1-v²/c²)-1/2
     |  0 0 0 1 0 |       |   0   0    0 1 0 |
     \  0 0 0 0 1 /       \   0   0    0 0 1 /

K: Kezdem úgy érezni, hogy még mátrix-szorzás is lesz a történetben...
V: Így van, ha két ilyen transzformációt akarunk egymás után elvégezni, akkor a mátrixszorzás asszociativitása miatt a mátrixok szorzásával helyettesíthetjük:

v→(B∘A)v=B(A(v))=(BA)v

Ez akkor előnyös, ha több pontot akarunk transzformálni, mert így számolást takaríthatunk meg.

K: Akkor most hogyan lehetne ezt a fenti vonat/alagút esetre alkalmazni?
V: Abban a példában a vonat eleje (A) és az alagút bejárata (C) szinkronizálták a koordinátarendszerüket amikor találkoztak (vagyis mindkettejük szerint ez az origó). Ezek között a transzformáció könnyen felírható a fentiek alapján:

A→C /  5/3 -4/3 0 0 0 \  C→A / 5/3 4/3 0 0 0 \
    | -4/3  5/3 0 0 0 |      | 4/3 5/3 0 0 0 |
    |    0    0 1 0 0 |      |   0   0 1 0 0 |
    |    0    0 0 1 0 |      |   0   0 0 1 0 |
    \    0    0 0 0 1 /      \   0   0 0 0 1 /

Szintén könnyű a transzformációt felírni a vonat eleje (A) és vége (B), valamint az alagút eleje (C) és vége (D) között, mivel ezek órái szinkronban járnak. (Ez négy transzformáció, de ebben a konkrét esetben két-két azonos van köztük.)

A→B / 1 0 0 0 0 \  B→A / 1 0 0 0  0 \
D→C | 0 1 0 0 5 |  C→D | 0 1 0 0 -5 |
    | 0 0 1 0 0 |      | 0 0 1 0  0 |
    | 0 0 0 1 0 |      | 0 0 0 1  0 |
    \ 0 0 0 0 1 /      \ 0 0 0 0  1 /

Akkor most egy érdekesebb rész: a fentiek szorzásával számítsuk ki a B→D és D→B transzformációkat, az B→A, A→C, C→D transzformációk szorzásával (ügyelve a mátrix-szorzás sorrendjére, pl. B→D = C→D * A→C * B→A)

B→D /  5/3 -4/3 0 0  20/3 \  D→B / 5/3 4/3 0 0  20/3 \
    | -4/3  5/3 0 0   -40 |      | 4/3 5/3 0 0 130/3 |
    |    0    0 1 0     0 |      |   0   0 1 0     0 |
    |    0    0 0 1     0 |      |   0   0 0 1     0 |
    \    0    0 0 0     1 /      \   0   0 0 0     1 /